Comprendre une équation (1)

Que veut dire comprendre une équation⁉ 🤔

Je ne m’étais jamais vraiment posée cette question avant de commencer à travailler sur le projet maths4Sciences. Je m’étais bien parfois rendue compte que mes étudiants avaient appris la formule par coeur sans même retenir ce que signifiaient les lettres. En faisant de la bibliographie, j’ai lu plusieurs articles très intéressants qui répondent à leur manière à cette question.

En les relisant, je me suis rendue compte que vous parler de ces articles, c’était aussi une bonne question d’aborder indirectement des aspects méthodo des recherches sur l’enseignement des sciences. Comme le contraste entre ces deux articles est instructif, je vous présente donc l’avis d’un enseignant de physique expert, publié dans la revue American Journal of Physics ainsi que les résultats d’une recherche qualitative menée par un groupe de chercheurs en éducation publié dans une revue de didactique.

Tout ce que je peux vous dire de la formule de la portée

Robert Romer, un enseignant chevronné du département de physique du Amshert College, se propose de répondre à la question : « que veut dire comprendre une équation en physique? » en travaillant sur un exemple. Dans cet article du American Journal of Physics, l’auteur se demande donc tout ce qu’il pourrait dire à ses étudiants au sujet de l’équation1

suivante :

D’abord, il préciserait le sens des symboles utilisés — v0 est la vitesse initiale du projectile, sin est la fonction trigonométrique sinus, et ainsi de suite. Ensuite, il raconterait le contexte dans lequel cette équation a un sens : par exemple un enfant qui jetterait un projectile (couché par terre puisqu’il n’y a pas de hauteur initiale). Ensuite, il aborderait le statut logique de l’équation : le signe égal peut avoir plusieurs sens. Ici il ne s’agit clairement pas d’une définition de la portée, ce n’est pas non plus une loi fondamentale de la physique, c’est un résultat spécifique, obtenu dans un contexte spécifique. Il faut ensuite aborder les hypothèses faites pour obtenir cette formule. Par exemple cette formule s’obtient en négligeant les frottements de l’air. Cette hypothèse nous amène directement à discuter les limites de cette formule : si l’on veut prédire la chute d’un objet à 1.5 m, ce n’est probablement pas une bonne idée d’utiliser cette formule. Lire l’équation, selon l’auteur, c’est aussi vérifier que l’équation est dimensionnellement correcte. Et la liste continue. Alors que les exercices classiques demandent en général aux élèves de trouver une valeur particulière, lire cette équation, c’est comprendre sa structure. Voir ce qu’il se passe si l’on change la valeur d’un paramètre, par exemple la vitesse initiale. Se demander ce qu’il se passe dans les cas limites : par exemple si g valait 0? Et puis, on peut se demander pourquoi certaines grandeurs caractéristiques du système n’apparaissent pas, comme la masse. Enfin, on peut se poser une question encore plus subtile : pourquoi la vitesse initiale apparaît-elle au carré dans cette formule? L’auteur termine cette longue discussion en précisant qu’il n’a volontairement pas expliqué comment on obtient cette équation, car il regrette que ce soit la seule approche que l’on trouve dans la plupart des manuels.
La lecture de cet article m’a éclairée. À la fois, rien ne m’a surprise et en même temps, si j’avais fait l’exercice seule au brouillon, je n’en aurais jamais écrit autant. Je me demande alors ce que j’aurais écrit, ce que vous auriez écrit, ce que mes étudiants en auraient écrit. Et qu’est-ce qui est important finalement, quelle compréhension est nécessaire pour « réussir » en physique, ou bien pour « comprendre la physique? ». Et comment favoriser la compréhension des équations? Comment aider et accompagner les étudiants?

Construire une théorie à partir de données de terrain

Le mot « comprendre » est très vague. Romer nous a montré que ce mot pouvait avoir plusieurs sens. Pour pouvoir échanger à ce sujet nous devons partager un langage commun avec des concepts clairs des différentes acceptations de « comprendre une équation ».  En didactique — et plus généralement en sciences humaines —, on parle alors de construire une théorie. Si l’on fonde la théorie sur des données, on parle alors de théorie ancrée.
Une équipe de chercheurs suédois a publié en 2010 les résultats de leurs travaux sur la compréhension d’une équation chez les étudiants. Ils ont interrogé vingt étudiants de niveaux très différents (du L1 au doctorat) et ils leur ont demandé ce que signifiait pour eux comprendre une équation. Les chercheurs ont ensuite codé les fragments des réponses des étudiants pour construire des catégories plus abstraites. Ces catégories sont construites au fur et à mesure de la recherche en comparant les entretiens : qu’est-ce qui est pareil? Qu’est-ce qui est différent? Et pourquoi? Selon la méthodologie de la théorie ancrée, les chercheurs recueillent de nouvelles données  jusqu’à atteindre un sentiment de « complétude » : les nouveaux entretiens ne font plus évoluer les catégories utilisées pour les coder.
Dans l’article, les chercheurs nous présentent le résultat de cette catégorisation : tous les fragments des entretiens réalisés sont codés avec l’une de ces catégories. Pour chacune d’entre elles, les auteurs nous proposent une description ainsi qu’un ou plusieurs exemples issus des transcriptions des entretiens. Dans la théorie qu’ils ont construite, comprendre une équation comprend plusieurs composantes qu’ils illustrent sur la relation v=√(B/𝜌) :
  • A -Recognize symbols. Reconnaître les symboles utilisés et leur attribuer la bonne grandeur physique : v est la vitesse, B le module d’Young et 𝜌 la masse volumique.
  • B -Underlying physics.Comprendre les concepts utilisés dans l’équation : la vitesse d’une onde correspond …
  • C -Structure.Reconnaître la structure de l’équation : qu’est ce que cela fait que le module d’Young soit au dénominateur plutôt qu’au nominateur?
  • D -Everyday life.Faire un lien entre la formule et la vie de tous les jours : cette formule donne la vitesse de propagation d’une onde sonore dans l’air en fonction des caractéristiques du milieu.
  • E -How to use.Savoir comment utiliser cette équation pour résoudre des problèmes de physique
  • F -When to use. Savoir quand utiliser cette équation
Les auteurs nous montrent alors quelle est la répartition de ces composantes A → F dans les entretiens des étudiants :
tableau issu article

La suite…

Comme en physique, les théories sont raffinées au fur et à mesure des travaux de recherche. D’autres chercheurs pourraient répliquer l’expérience avec leurs propres étudiants et voir si les catégories proposées sont opératoires, c’est-à-dire si elles permettent de classer les propos des étudiants. Ou bien s’il faut faire évoluer les catégories. Il serait aussi possible de construire une enquête à partir de ces travaux pour mieux connaître la répartition de ces conceptions chez les étudiants. On pourrait alors par exemple chercher à corréler les conceptions qu’ont les étudiants de ce que signifie comprendre une équation avec leurs résultats, ou bien leur compréhension de la physique, ou bien leur goût pour la physique. Il serait aussi possible de concevoir des activités pédagogiques pour aider les étudiants à maîtriser d’autres aspects de la compréhension d’une équation.
And so on, and so forth.

Références

Romer, R. H. (1993). Reading the equations and confronting the phenomena—The delights and dilemmas of physics teaching. American Journal of Physics, 61(2), 128‑142. https://doi.org/10.1119/1.17327
Domert, D., Airey, J., Linder, C., & Kung, R. L. (2012). An exploration of university physics students’ epistemological mindsets towards the understanding of physics equations. Nordic Studies in Science Education, 3(1), 15. https://doi.org/10.5617/nordina.389


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