Schibboleth pour physiciens

Il y a deux ans, je découvrais le sens du mot « Shibboleth », un trait de langage qui permet de distinguer ce qui font partie d’un groupe de ceux qui n’en font pas partie. Celui que je vais vous raconter permet de distinguer les mathématiciens des physiciens. Voici l’énoncé du problème (Dray & Manogue, 1999) :

L’un de vos collègues est en train de mesurer la température d’une plaque de métal placée au dessus d’un tuyau d’air froid. Le résultat est assez bien décrit en coordonnées cartésiennes par la fonction T(x,y)=k(x^2+y^2) où k est une constante.
Si l’on vous demandait de donner la fonction suivante, qu’écririez-vous ?
T(r,\theta)=?

En tant que physicienne, la réponse me semble évidente : T(r,\theta)=kr^2. La question demande de réécrire la température en fonction des coordonnées polaires r et \theta.

Pour une mathématicienne, la réponse est tout aussi évidente T(r,\theta)=k(r^2+\theta^2). L’idée c’est qu’une fonction en mathématique ne dépend pas du choix des lettres utilisées pour représenter les variables. Utiliser  x et y permet d’écrire plus facilement T(variable_1, variable_2), mais on pourrait tout aussi bien utiliser et r et \theta, ou tout autre couple de lettre ou de symbole. Si l’on veut changer la dépendance fonctionnelle, alors il faut changer le nom de la fonction : \Theta(r,\theta)=kr^2. C’est d’ailleurs ce que je ferais si j’étais en train d’écrire un code en utilisant un langage de programmation.

Cet exemple montre bien que si les mathématiques faites en mathématiques, et celles faites en physique se ressemblent beaucoup, ce ne sont pas exactement les mêmes.

Interpréter physiquement les mathématiques

Si l’on reste sur les différences d’interprétation des fonctions en physique et en mathématiques, ce qu’il faut retenir, c’est qu’en physique on mêle toujours le sens physique, le contexte, aux écritures mathématiques que l’on manipule (Redish et Kuo 2015). Un autre exemple intéressant est proposé par Redish et Kuo. Il s’agit d’une question sur les champs électriques.

Une petite charge q est placée à un point M quelconque de l’espace. D’autres charges sont cachées dans cette région de l’espace. La position à laquelle est placée la charge q ne modifie pas la position des charges cachées. La charge q est soumise à une force F. Nous en concluons qu’il y a un champs électrique en ce point et que E=F/q.

Si la charge q est remplacée par une charge -3q, alors le champ électrique en M vaut :

1. –E
2. E
3. –E/3
4. E/3
5. Une autre valeur qui n’est pas donnée ici.

Alors que la bonne réponse est de dire que E ne varie pas puisque F dépend de q. Si q double, alors F double, mais E ne varie pas puisque E est causé par les autres charges invisibles. Mais une réponse mathématique ne prenant pas en compte le sens physique des symboles manipulés conclurait, comme le font nombre d’étudiants, à une variation de la valeur de E. Les auteurs de l’étude ajoutent que noter F(q) aide les étudiants à ne pas tomber dans le « piège ».  

La conclusion des auteurs de l’excellent article « Language of Physics, Language of Math: Disciplinary Culture and Dynamic Epistemology » est que l’on doit enseigner aux étudiants à interpréter physiquement les mathématiques. Ce que veut dire « interpréter physiquement les mathématiques » et comment on peut favoriser cet apprentissage fait l’objet de la suite de leur article, et fera probablement l’objet d’un prochain article sur ce blog !

Références

Dray, T., & Manogue, C. A. (1999). THE VECTOR CALCULUS GAP: MATHEMATICS ≠ PHYSICS. PRIMUS, 9(1), 21–28. https://doi.org/10.1080/10511979908965913

Redish, E. F., & Kuo, E. (2015). Language of Physics, Language of Math: Disciplinary Culture and Dynamic Epistemology. Science & Education, 24(5–6), 561–590. https://doi.org/10.1007/s11191-015-9749-7