Les différences entre les maths et les maths pour la physique

En général, on n’a pas de mal à se comprendre entre mathématicien.nes et physicien.nes. Nous savons bien que chaque communauté a ses petites manies, ses petites marottes. Et nous savons aussi que ces petites différences dans les usages, dans les notations peuvent embrouiller nos étudiant.es.

Si vous le n’avez pas déjà fait… Je vous conseille de commencer par ce petit test : 

L’idée n’est pas de gommer les différences, mais de les reconnaître et de les comprendre pour pouvoir les expliciter dans nos enseignements. On ne peut pas dire qu’une communauté a tort. Si dans cette communauté un usage s’est développé, un vocabulaire s’est précisé, c’est que cela répond à un besoin ou aux situations les plus fréquemment rencontrées.

1. Des notations différentes

Ce qui saute aux yeux, ce sont les différences de notation ou de vocabulaire. Dans le cas des vecteurs, on parle souvent des composantes en physique, et systématiquement des coordonnées en mathématiques. Les enseignant.e.s du secondaire de physique utilisent de plus en plus le mot “coordonnées” mais en continuant à utiliser une notation qui porte en elle la notion de projection.

En mathématique, le nombre complexe dont le carré vaut -1 est systématiquement noté i. En physique, selon le contexte, on trouvera i, ou j. En effet, en électricité la lettre i est déjà réservée pour l’intensité du courant, alors pour éviter des confusions, on a pris l’habitude d’utiliser la lettre j.

2. Des lettres qui n’ont pas le même statut

En mathématiques, on manipule des fonctions. En physique, on manipule des grandeurs dont les variations en fonctions d’autres grandeurs sont modélisées par des fonctions.

Cela signifie qu’en physique, les lettres veulent toujours dire quelque chose. Et ce quelque chose peut varier en fonction du contexte. À l’inverse en mathématique, la plupart des lettres correspondent à des variables muettes. L’accent n’est pas mis sur le sens des lettres utilisées, mais sur la structure de l’expression.

Pour en savoir plus sur ce sujet, je vous recommande la lecture de cet article : Language of Physics, Language of Math: Disciplinary Culture and Dynamic Epistemology

3. Des usages différents

Voici quelques exemples d’usages différents, et justifiés, d’outils ou de concepts mathématiques…

La proportionnalité

Les profs de physique et de mathématiques débattent souvent de ce qu’est une situation de proportionnalité. Pour l’enseignant.e de mathématiques, il faut que tous les points soient alignés sur une droite qui passe par l’origine pour que l’on puisse parler de situation de proportionnalité. Pour l’enseignant.e de physique-chimie, il faut que la répartition des points soit compatible avec une modélisation par une droite. Les écarts au modèle, lorsque celui-ci est adapté, sont souvent dus aux incertitudes de mesure. La situation de proportionnalité correspond au modèle utilisé, dans les mêmes termes que pour l’enseignant.e de mathématiques.

La difficulté est pour l’élève qui doit, en fonction du contexte, savoir jongler entre ces deux définitions de la situation de proportionnalité. On peut l’aider en explicitant les différences !

Trouver un minimum

Lorsqu’un énoncé de physique demande de trouver la valeur d’une variable qui minimise une grandeur, l’enseignant.e attend que l’élève cherche la valeur qui annule la dérivée. En mathématiques, il faudrait d’abord rappeler que la fonction est dérivable, et ensuite chercher la valeur de la variable pour laquelle la dérivée change de signe. En effet, il existe des fonctions pathologiques pour lesquelles la dérivée s’annule sans changer de signe… Mais ce n’est presque jamais le cas en physique. Et en enseignement, le contrat didactique implicite, c’est que l’élève serait davantage guidé si c’était le cas !

Le logarithme

Un autre exemple que nous avons rencontré lors des travaux du groupe Maths4Sciences concerne l’usage du logarithme. Un collègue de maths nous a proposé comme petit exercice de simplifier ln(1000) en utilisant la décomposition en nombres premiers. Cet exercice a paru étrange pour les collègues de physique pour qui 1000 évoque de suite 10^3 et donc l’utilisation du logarithme décimal pour “obtenir” l’ordre de grandeur. J’ai même cru au départ que le collègue s’était trompé et avait voulu écrire log !

Encore une fois en physique, le contexte est très important. Si l’on parle de pH de solution ou bien de l’échelle de Richter, ou que l’on étudie une grandeur qui varie sur plusieurs décades, le logarithme sera par défaut le logarithme décimal. À l’inverse, si l’on est en train de résoudre une équation différentielle, alors le logarithme par défaut sera bien le logarithme népérien.

En mathématiques, lorsque rien n’est précisé, le logarithme correspond au logarithme népérien, et les choses sont alors probablement plus simples pour les élèves.

4. Les paramètres

En physique, on garde des lettres, parfois beaucoup de lettres. Alors qu’en maths, les expressions sont souvent beaucoup plus simples : x est la variable, et à côté on n’a que des chiffres. Ce n’est évidemment plus vrai dans l’enseignement supérieur, mais les programmes de l’enseignement secondaire ont quasiment évincé la notion de fonction à paramètres.

En physique ou en chimie, on veut garder les variables jusqu’au bout du calcul. L’objectif du calcul littéral est en général d’obtenir l’expression d’une grandeur en fonction des autres grandeurs du problème. Et à un moment donné, une grandeur qui avait le rôle de paramètre pourra prendre le rôle de variable. Pour tester par exemple l’influence de l’angle de lancer sur la portée d’un tir.

Pour aider les étudiant.es, on peut les entraîner à voir qui joue le rôle de qui. Surligner la lettre qui “joue le rôle de x” les aide souvent beaucoup pour gérer les dérivées lorsque les expressions sont “un peu moches”.

Conclusions

Les différences entre les mathématiques en classe de mathématiques et les mathématiques en classe de physique sont subtiles et peuvent être sources de difficultés pour les élèves. Pour autant, ces différences s’expliquent par les épistémologies de chacune des deux disciplines : on n’y fait pas la même chose, on n’y a pas les mêmes objectifs, on ne fait pas partie des mêmes groupes culturels.

Les élèves sont tout à fait capable de manipuler plusieurs usages à condition que ces différents usages soient explicités. Une liste de toutes les petites différences constituerait une sorte de liste à la Prévert et serait totalement indigeste. La meilleure manière de mieux connaître ce qui se fait dans “l’autre classe”, c’est d’aller assister à quelques cours, ou encore mieux, de co-enseigner.

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